Praxis Förderdiagnostik: Was vermissen Sie im modernen Mathematikunterricht?

Rainer Feuerlein: Wichtig ist mir, mit den Schülern das Thema wirklich zu durchdenken, mit eigenen geistigen Werkzeugen an das Thema heranzugehen. Zum Beispiel beim Klammern auflösen: Man kann das Beispiel 7 – (5-3) leicht verständlich machen indem man fragt: „Was wäre, wenn ich Klammer einfach weglasse?“. Die Schüler merken: Dann hätte ich ja viel zu wenig. Man muss das ausprobieren, nicht einfach nur die Regel präsentieren, dass wenn ein Minus vor der Klammer steht, man die Vorzeichen umkehrt.

Wichtig ist auch, dass diese Regel an sehr sehr überschaubaren Beispielen hängt und nicht an komplizierten, verschachtelten Situationen, bei denen man erst Schicht für Schicht abschälen muss. Für den Einstieg braucht man ein einleuchtendes, einfaches Beispiel.

Später müssen die Schüler ausgiebig Gelegenheit zum Üben haben, um sich sicher zu fühlen. Ich stimme Ihnen zu, dass man heutzutage das Üben viel zu geringschätzig behandelt.

Ich war hingegen sehr erfreut, als man die Wahrscheinlichkeitsrechnung in den Lehrplan aufgenommen hat. Dort ist die schrittweise Aufbereitung der Probleme sehr wichtig. Entscheidend ist dabei, in der Erarbeitung nicht zu sagen: „Das hier ist der und der Typ von Wahrscheinlichkeitsrechnung“, sondern den Text Schritt für Schritt zu analysieren. Dann merken die Schüler, was zu tun ist. Aber das hängt eben vom Lehrer ab, er muss sich diese Mühe auch machen.

Die Beschwerde der Professoren, die ich bereits erwähnt habe, kam zu Recht. Sie hatten auch Recht mit ihrem Vorwurf, dass es sich die Lehrer heute zu leicht machen: Man gibt vor was ist, danach werden Aufgaben gerechnet, und wenn man mehr braucht, gibt es Zusatzhefte. Früher hat man viel kontinuierlicher geübt, vor Schulaufgaben nur ein wenig mehr als sonst, aber nicht so eingeochst wie heute. Und das liegt eben daran, dass im normalen Unterrichtsbetrieb sowohl Einsicht als auch Übung zu kurz kommen.

Dass die Einsicht und Argumentationsfähigkeit zu kurz kommen, merkt man auch in Geometrie. Früher gab es die euklidischen Beweise, die wunderbar geeignet sind, das Denken zu schulen. Die Schüler mussten überlegen, welche Stücke der Figuren gleich sind und dann argumentieren. Das wurde ersetzt durch Abbildungsbeweise; dabei war nicht mehr die klare Logik gefragt, sondern die Begründungen machen einen Wischiwaschi-Eindruck.

Praxis Förderdiagnostik: Auf diesen Umstand hat uns auch Hermann Karcher aufmerksam gemacht. Er erklärt in einem eigenen Beitrag am Beispiel der Winkelsumme im Dreieck, wie viel klarer auch für die Schüler das „altmodische“ Vorgehen ist.

Harald Walter: Mathematikunterricht ist vor allem auch eine Einführung in die Sprache der Mathematik. An den Schulen wird wohl immer noch dem Einüben von Kalkülen ein zu breiter Raum eingeräumt. Aus Sicht der Schüler hat das den Vorteil, dass ein Kalkül wie eine Übung im Sport trainiert werden kann. In Prüfungen ist es dann leicht, festzustellen, ob die angestrebten Lernziele erreicht wurden. Vorläufig noch ungeklärt ist wohl die Frage, inwieweit mathematische Inhalte in den Informatikunterricht verlagert werden können und welche Rolle der Computer im Mathematikunterricht demnächst spielen wird. Jedes Computer-Algebrasystem ist in der Lage, mit einem Tastendruck die Lösungen jeder beliebigen Gleichung anzuzeigen. Eine reizvolle, aber nicht einfache Aufgabe ist, den Schülern zu zeigen, dass in der Mathematik auch Kreativität und Phantasie gefragt sind.

Praxis Förderdiagnostik: Was macht für Sie guten Mathe-Unterricht, gute Mathelehrer aus?

Rainer Feuerlein: Mehr als in anderen Fächern steht und fällt der Erfolg mit dem Lehrer. Wenn der Lehrer die Aufgaben den Schülern vorbetet, ist er ein schlechter Lehrer. Ich habe meinen Referendaren beigebracht, ein Problem in den Raum zu stellen. Dazu war die Tafel sehr hilfreich. Ich habe am liebsten mit offenen Fragen die Erarbeitung begonnen, in allen Jahrgangsstufen.

In der Oberstufe z.B. habe ich für den Hauptsatz der Differenzial- Integralrechnung sogar unter intensiver Mitarbeit der Schüler eines Grundkurses bewiesen. Es kommen bei einem solchen Vorgehen sicher auch falsche Beiträge, aber die können sehr hilfreich sein. Man sollte sie nicht gleich abschmettern. Der Lehrer muss immer überlegen, ob er auf einen Irrtum selbst antwortet oder die Frage an die Klasse weitergibt. Wenn der Unterricht allzu glatt läuf, regt er weniger zum Denken an.

Wir haben alles bewiesen, nicht immer abstrakt, auch mit aussagekräftigen Beispielen, die sich verallgemeinern ließen. Und manchmal haben dabei die Schüler sogar bessere Lösungen gefunden, als ich eingeplant hatte. Beim Hauptsatz dachte ich z.B., ich arbeite mit einem Zwischenwertsatz. Die Schüler haben mich aber darauf gebracht, die alte Streifenmethode zu nehmen. Solche Momente sind für Schüler und Lehrer schön, weil dann alle durch gemeinsames Nachdenken zu einer Lösung des Problems gefunden haben, statt nur nachzubeten, was der Lehrer an die Tafel geschrieben hat.

Außerdem sollte man nicht so sehr hinter der mathematischen Sprache her sein. Man sollte einen Schüler nicht in seinem Gedankenfluss unterbrechen nur weil er „und“ gesagt hat statt „plus“. Oder darauf bestehen, dass man 5 Doppelkirschen nicht als 2 x 5 aufschreiben darf, sondern nur als 5 x 2, so etwas ist absurd, es ist ja das gleiche.

Allgemein fand ich immer: Die schlechten Referendare und Lehrer haben nicht versucht, die Aufgaben aus Schülersicht selbst zu durchdenken, sondern nur ihren Plan abgespult. Das macht den Schülern keinen Spaß und nimmt sie nicht mit. Ich habe schon lange bevor das populär war kleine Feedbackumfragen bei meinen Schülern gemacht, und Mathe war bei ihnen immer auf Platz 1 oder 2 der Lieblingsfächer. Ich denke, das lag daran, dass das Ausgehen vom Problem den Unterricht interessant gemacht hat und die Menge an Übung den Schülern Routine und Sicherheit gab.

Praxis Förderdiagnostik: Genügt ein gutes Mathematikbuch wie das Ihre, um Mathematik zu lernen, oder braucht man noch etwas Zusätzliches?

Harald Walter: Um es ganz ehrlich zu sagen: Der Lehrtext in Mathematikbüchern ist vor allem für Lehrer geschrieben. Der „durchschnittliche Schüler“ ist nicht in der Lage, Mathematik aus Büchern zu lernen. Er braucht einen einfühlsam erklärenden Lehrer, der es versteht, dazu anzuleiten und dafür Interesse zu wecken, was das Ziel mathematischer Bildung ist: Der Wille und die Fähigkeit, Probleme zu lösen. Der häufig erhobene Vorwurf, Schüler lernen vor allem für die nächste Prüfung, trifft im Fach Mathematik am allerwenigsten zu. Nicht das Einprägen von jederzeit im Gehirn abrufbaren Fakten wird gefordert, sondern der Wille und der Anspruch, gestellte Aufgaben und Probleme zu lösen. Mit der Zeit entwickeln sich im günstigsten Fall Lösungsstrategien und die Schüler erkennen, bei welchen Aufgabentypen diese zielführend sind.

Praxis Förderdiagnostik: Sind Hefteinträge überhaupt sinnvoll, bei denen mit viel Zeitaufwand eine Definition oder Regel ins Schulheft geschrieben wird, obwohl sie besser formuliert im Buch steht?

Harald Walter: Hefteinträge halte ich für unverzichtbar. In der Regel werden sie von der Tafel oder neuerdings vom Whiteboard übernommen. Die Informationen nehmen dann ihren Weg von den Augen zum Gehirn und dieses steuert dann die Schreibbewegungen. Das Schreiben von Spickzetteln oder Einkaufszetteln ist eine gute Merkhilfe und mit dem Schreiben ist ihr Zweck meist schon erfüllt. Für viele Merksätze halten erfahrene Lehrer schlagwortartige und einprägsame Kurzfassungen bereit, die in gedruckter Form in einem Buch deplatziert wären. Umgekehrt gesagt: Nicht alles, was ins Heft eingetragen wird, muss druckreif sein.

Praxis Förderdiagnostik: Was denken Sie über den Einsatz moderner Medien im heutigen Mathematikunterricht?

Rainer Feuerlein: Ich bin aus dem Ruhestand mit 70 Jahren nochmals zurück ans Gymnasium geholt worden, um für eine Lehrkraft in Mutterschutz einzuspringen. Ich habe deren Grundkurs übernommen, und alle diese Schüler haben freiwillig Mathematik im Abitur gewählt. Wenn man das so macht, macht Mathe Spaß.

Mit dem Medium hat das im übrigen sehr wenig zu tun. Wenn man die neuen Medien nur nutzt, um mit etwas Vorgefertigtem auf dem Laptop in die Klasse zu kommen und den Stoff nach und nach ablaufen zu lassen, dann ist das schlecht. Das war bei Einführung des Overheadprojektors genau so: Man spult ab, was man zuhause vorbereitet hat. Das ist der Tod guten Unterrichts.

Es lebe die Tafel! An der Tafel muss ich selbst alles entwickeln und die Schüler sind an der Entwicklung beteiligt. Ich kann dort Formulierungen der Schüler aufnehmen. Wenn ich nur herunterscrolle was ich vorbereitet habe, können sie den Gedankengang nicht mitentwickeln, und ich kann die gemeinsam erarbeiteten Formulierungen und Lösungswege nicht einbeziehen.

Es ist wichtig dass die Schüler als Gemeinschaft mit dem Lehrer denken und abschnittsweise das an der Tafel gemeinsam Erarbeitete ins Heft notieren. Dabei denken sie ganz anders mit.

Praxis Förderdiagnostik: Was sind typische Lehrerfehler im Mathematikunterricht?

Rainer Feuerlein: Man muss heutigen Lehrern vorwerfen, dass sie sich keine Mühe mehr mit den Beweisen geben, sondern nur noch schnell die Einführung abspulen, damit bald Aufgaben gerechnet werden können.

Wenn eine Stunde nicht so lief wie erhofft, habe ich mich hinterher gefragt, was ich hätte besser machen können. Man lernt an den Schülern, was nicht gut gelaufen ist. Der Lehrer muss lernen, dass er selbst Fehler macht.

Viele Lehrer rufen die Schüler zu wenig auf und integrieren sie kaum ins Unterrichtsgespräch. Sie fragen oft zu kleinschrittig und trivial, das regt die Schüler nicht zum Mitdenken an. Und dann ist die Erarbeitung keine echte gemeinsame Denkleistung der Klasse – aber darauf kam es mir immer an. Das setzt viel geistige Flexibilität vom Lehrer voraus, nicht nur Spaß an der Mathematik. 6 Semester Studium genügen dafür nicht.

Praxis Förderdiagnostik: Mathematik gilt als das zwiespältigste und tendenziell unbeliebteste Schulfach überhaupt. Wie sollte ein Lehrer mit den Schülern umgehen, die schlecht in Mathematik sind, Angst davor haben oder Mathe nicht mögen?

Rainer Feuerlein: Über falsche Antworten oder „dumme Antworten“ darf nicht gelacht werden. Das muss der Lehrer durchsetzen, damit sich auch die schwächeren Schüler sicher fühlen und sich am Unterrichtsgespräch beteiligen. Es war bei mir eine ganz entspannte Sache: Auch falsche Antworten konnten die Diskussion über das mathematische Problem weiterbringen. Deshalb haben wir in der Klasse immer auch über falsche Antworten diskutiert: War daran nun etwas für unser Problem hilfreich oder führt sie in die Irre? Das ist viel ergiebiger, als den Schülern kleinschrittige Fragen zu stellen, die nur richtig oder falsch beantwortet werden können. So denken alle mit, und was am Ende an der Tafel steht, hat die ganze Klasse gemeinsam erarbeitet – und verstanden.

Für mich war der Unterricht Leben. Wenn Schüler sehr schweigsam waren, eine tote Klasse, habe ich gesagt „Dann schwätzt halt mal“. Im Mathematikunterricht soll es lebendig zu gehen.

Harald Walter: Ein Mathematiklehrer muss es ertragen, dass ihn seine Schüler in eine der beiden Kategorien einordnen: „der kann erklären“ bzw. „der kann nicht erklären“. Eine Aussage eines Schülers habe ich nicht vergessen: „Die Lehrer müssten besser erklären, damit wir nicht so viel lernen müssen.“ Ein Lehrer sollte vor seiner Klasse so auftreten, dass seine Schüler spüren, dass er sich als „Dienstleister“ an seinen Schülern versteht. Damit verbietet sich jede Form von Arroganz. Ein Satz, den ich in meiner Schulzeit gehört habe: „Das versteht ihr sowieso nicht, versteh’s ich kaum!“ ist völlig deplatziert.

Mathematik ist sicherlich (und leider) das Schulfach, für das die meiste Nachfrage nach Nachhilfeunterricht besteht. Als Ruheständler war ich bei nicht weniger als fünf Mädchen aus der Verwandtschaft als Nachhilfelehrer gefordert. Der stets gleiche Wunsch: „Bitte nichts erklären, ich möchte nur wissen, wie man diese Aufgaben löst“. Das ist die Nachfrage nach einem Rezept. Erfolgreich war man, wenn man hört: „Jetzt habe ich das verstanden, was ich heute im Unterricht nicht verstanden habe.“ Und falls das stimmt: „Jetzt macht mir das sogar Spaß!“. Kurz gesagt: Erfolgserlebnisse vermitteln und diese anerkennend würdigen, das ist entscheidend.

Praxis Förderdiagnostik: Wie stehen Sie zu der verbreiteten Klage von Schülern „Was soll mir das denn bringen, das brauche ich doch nicht im Leben?“ (z.B. die Primzahlen zu kennen oder Gleichungen lösen zu können)?

Harald Walter: Ich ärgere mich, wenn Schüler so denken. Gerade als Gymnasiast sollte man verstehen, dass Mathematik nicht nur ein Werkzeug ist, sondern das Denken schult. Das hat einen Bildungswert an sich, den Gymnasiasten auch zu schätzen wissen sollten. Wenn der Mathematikunterricht an Realschulen oder Hauptschulen einfacher und anwendungsorientierter ist, kann ich das verstehen. Aber zum Gymnasium gehört ein Bildungsanspruch, der über die reine Nützlichkeit hinausgeht. Als Schüler sollte man so reif sein, sich auch auf Themen einzulassen, deren Nutzen man noch nicht versteht.

Auf der anderen Seite braucht es dazu auch Lehrer, die die Schüler für die Schönheit der Mathematik begeistern können, und das ist leider nicht immer der Fall. Ein nahezu völlig zweckfreies Teilgebiet der Mathematik ist die Zahlentheorie. Bereits in der Unterstufe wird der Begriff „Primzahl“ eingeführt und selbst der fundamentale Lehrsatz „Es gibt unendlich viele Primzahlen“ kann für Kinder überzeugend begründet werden. Für das spätere Leben als Erwachsener hat dieser Lehrsatz keinerlei Bedeutung, es war für mich aber immer wieder überraschend und befriedigend, mit welchem Interesse und welcher Begeisterung meine Klassen bei dem Thema Primzahlen mitgearbeitet haben.

Praxis Förderdiagnostik: Das bestätigt auch Wolfgang Kühnel. Er meint, es sei ganz überflüssig gewesen, den Gymnasiallehrplan als Reaktion auf die PISA-Ergebnisse „kompetenzorientierter“, vermeintlich alltagsbezogener und praxisorientierter zu gestalten. Schließlich hätten schon 2000 die Haupt- und Realschüler – bei denen Mathematik stark alltags- und berufsvorbereitend sein soll – Probleme mit den Anwendungsaufgaben gehabt, während die Gymnasiasten diese gut bewältigen konnten. Kühnel sagt: „Paradoxerweise konnten also gerade die praktisch ausgerichteten jungen Leute die praktischenAufgaben schlechter lösen als die mehr theoretisch ausgerichteten Gymnasiasten. Dann aber die gymnasiale Mathematik zu einer Art von “Hauptschulmathematik plus” zu entwickeln ist wohl absurd, wird aber gleichwohl als große Errungenschaft postuliert und gepriesen. Die eigentliche Mathematik bleibt dabei auf der Strecke, und die Hochschulen haben das Nachsehen.“

Rainer Feuerlein: „Wozu soll Mathe gut sein?“ Diese Frage haben meine Schüler nie gestellt. Wenn man Spaß dran hat und Erfolgserlebnisse, fragt man gar nicht danach. Man muss nicht die Ansprüche senken, um Schülern Erfolgserlebnisse im Mathematikunterricht zu ermöglichen, sondern man muss guten Unterricht machen. Das bedeutet nicht, dass nur Ausgewählte mithalten können.

Ich hatte einmal einen sehr guten Schüler im Leistungskurs, der sich beschwerte: „Ihr Unterricht gefällt mir nicht. Bei Ihrem Vorgänger haben es nur ich und noch ein anderer Schüler verstanden, jetzt verstehen es plötzlich alle.“ Mein Vorgänger hatte alles abstrakt aus Axiomen entwickelt; ich habe immer erst im letzten Schritt abstrahiert. Das ist nicht das gleiche wie immer von einer Alltagssituation auszugehen, man kann dabei natürlich von einer mathematischen Frage ausgehen.

Ich habe eine Zeit lang an der Uni Erlangen Didaktik gelehrt und dort den Studenten versucht dies beizubringen. Es ist heute ein Mangel, dass die Didaktik-Dozenten der Universitäten kaum Unterrichtserfahrung haben. Viele hatten nur ganz kurz selbst unterrichtet. Sie haben als Hochschullehrer langjährige Erfahrung, aber nicht imkonkreten Unterrichten von Mathematik.

Praxis Förderdiagnostik: Was würden Sie Mathematiklehrern empfehlen, wenn eine Klassenarbeit sehr schlecht ausgefallen ist?

Harald Walter: Falls man Defizite im Bereich Grundwissen feststellt, gibt es nur die Lösung, nochmals eine Trainingsrunde einzuschalten. Bei weniger wichtigem Randwissen ist es ohnehin egal, ob etwas gar nicht verstanden wurde oder in einigen Monaten doch wieder vergessen ist. Nur sehr selten wird man als Lehrer nach dem Schreiben einer Klassenarbeit oder gar am Ende eines Schuljahrs mit dem zufrieden sein, was man erreicht hat.

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